Лесная математика

В записных книжках Леонардо да Винчи говорится: «Толщина всех веток дерева на любой его высоте, сложенная вместе, дает толщину ствола». Художник считал, что это применимо ко всем ветвящимся природным системам вроде рек, ручьев и кровеносных сосудов, но в наши дни «правилом Леонардо» называют только соотношение толщины ветвей у деревьев. В современной формулировке оно звучит так:

«Сумма площади поперечного сечения всех ветвей дерева выше точки ветвления на любой высоте равна площади поперечного сечения ствола или ветви непосредственно ниже точки ветвления».

Конечно, такая пропорция не всегда соблюдается с идеальной точностью, но любые отклонения только подтверждают незыблемость правила.

Наброски и записи из тетрадей Леонардо. museoteca.com 

Ученые сотни лет принимали «правило Леонардо» за аксиому и лишь недавно попытались объяснить, почему деревья растут именно так. Кристоф Элой (Christophe Eloy), физик из Калифорнийского университета, в 2011 году впервые предположил, почему правило Леонардо хорошо работает в природе. Он создал математическую модель, в которой для простоты расчетов дерево описывалось как ветвящаяся фрактальная структура, неподвижная в нижней точке, что соответствует месту ухода ствола под землю. («ММ» писал о фракталах в номере за февраль 2020 года. – Ред.) Добавив к модели давление ветра, Элой вычислил предельную величину, после которой ветви начнут ломаться. Он использовал две модели ветрового давления: в одном случае сила прикладывалась к концу ветви, как обычно бывает, когда ветер действует в основном на листья, а во втором воздействие оказывалось на сами ветки. Рассчитав оптимальную толщину разветвляющихся веток, при которой сопротивление ветру в том и другом случае было бы наилучшим, Элой обнаружил, что она в точности совпадает с правилом Леонардо.

Кристоф считает, что мы имеем дело со способностью дерева приспосабливаться к внешнему фактору: ветер, действуя на растение, заставляет учитывать дополнительную нагрузку. Хорошо защищенные от ветра деревья вырастают выше контрольных образцов, но при этом они ломаются легче, чем деревья того же вида, растущие на открытом месте. Это можно заметить и в природе, сравнивая деревья в густых лесах и на открытых участках.

В 2013 году биологи Рюко Минамино и Масаки Татено (Ryoko Minamino, Masaki Tateno) из ботанического сада при Токийском университете провели исследование, на которое способны только терпеливые японцы. Они тщательно измерили сечения ветвей хвойных и лиственных деревьев, выбрав в качестве образцов бук и пихту, а потом определили их упругость, сопротивление на излом и величину изгиба, вызванного собственной тяжестью. Для этого некоторые ветки пришлось спилить, чтобы сравнить их деформацию на живом дереве и лабораторном столе.



Биологи измерили углы, под которыми меньшие ветви отходили от больших, подсчитали среднее число «дочерних» ветвей и свели все значения воедино. Они пришли к выводу, что в ряде случаев деревья следуют правилу Леонардо вместо того, чтобы развиваться максимально выгодным образом для обеспечения прочности своих ветвей. По мнению ученых, дерево может компенсировать подобный недостаток невидимым снаружи способом, изменяя внутреннюю структуру древесины. Количество «дочерних» ветвей ничего не меняло: сколько бы их ни отходило от «материнской» ветви, правило Леонардо все равно соблюдалось. Красота и элегантность математической модели оказались сильнее внешних воздействий. Быть может, ученые, считающие Вселенную великой компьютерной симуляцией, как в фильме «Матрица», оказались ближе к истине, чем мы до сих пор думали.