Так ли гармонично золотое сечение?
Кошка математика Фото: U / thecheat420, www.reddit.com
Некоторым больше нравится другой термин – золотая пропорция. В ней всегда три части: большая, меньшая и целое. Ее самая простая иллюстрация – отрезок, разделенный на две неравные части, и меньшая часть при этом относится к большей, как большая – к целому. А вот формула, которая описывает это соотношение: AC/BC = BC/AВ, где АС – маленький отрезок, а ВС – большой. В процентном выражении это всегда примерно 62 на 38 %, а в числах – 1,6180339887… Довольно просто для «формулы всего», правда? И в мире множество примеров, когда эта формула работает.
Впервые такое деление отрезка описывается в «Началах» – главном труде древнегреческого математика Евклида, написанном 2300 лет назад. Это одно из самых ранних античных математических сочинений, а для нас оно интересно тем, что, помимо прочего, его автор строит пентагон, или правильный пятиугольник, у которого отношение диагонали к стороне равно золотому сечению.
Другие великие мыслители тоже оказались связаны с золотой пропорцией – например, ее нашли в работах Леонардо да Винчи, а также его современника и соотечественника Луки Пачоли, величайшего математика своей эпохи, одного из основоположников бухгалтерии и притом монаха. В своем труде De Divina Proportione («Божественная пропорция») Лука Пачоли в 1509 году якобы ассоциирует золотое сечение с божественным триединством: меньший отрезок олицетворяет Сына, больший – Отца, ну а целое – Дух Святой.
Несмотря на столь древнюю историю, в его нынешнем виде термин «золотое сечение» впервые прозвучал относительно давно – в 1835 году, в сочинении немецкого математика Мартина Ома. А в 1854-м появилась даже теория золотого сечения – благодаря немецкому же философу и поэту Адольфу Цейзингу. В своей книге «Новое учение о пропорциях человеческого тела» он постарался проиллюстрировать «закон золотого сечения» на примерах из анатомии и ботаники, тем самым доказав его универсальность. Во многом ему это удалось, потому что его идея обрела завидную популярность.
Этот номер «ММ» посвящен примеру золотого сечения в математике – последовательности Фибоначчи. Но эту пропорцию при желании можно отыскать где угодно: в египетской и вавилонской архитектуре, в искусстве Возрождения и не только… Говорят, художник Альбрехт Дюрер даже придумал особый циркуль, чтобы определять и использовать точки золотого сечения в своем творчестве. Искусствоведы и любители находят золотую пропорцию в фасадах греческого Парфенона и французского Нотр-Дам де Пари, в египетских гробницах и облике храма Василия Блаженного. Считается, что золотое сечение, «спрятанное» в произведении искусства, добавляет ему гармонии, делает привлекательнее для зрителя. И даже для читателя и слушателя, поскольку волшебные цифры находят также в литературе, музыке и кино: к примеру, на него приходятся кульминации пушкинской повести «Пиковая дома», инвенции Баха E-dur № 6 BWV 792 и фильма «Броненосец Потемкин» Эйзенштейна.
Но использование «формулы всего» художниками, сознательное или интуитивное, не так удивительно, как ее проявление в природе. Завиток бараньего рога или раковины, узор обычной паутины, расположение листьев на ветке и даже форма яйца – во всех этих случаях можно обнаружить действие одного и того же закона. Вышеупомянутый Адольф Цейзинг обнаружил его в пропорциях нашего организма, тщательно измерив множество античных статуй и около двух тысяч своих современников. Философ рассказал о любопытных результатах: например, мужские пропорции оказались ближе к «золотым», чем женские. Помимо своих измерений, Цейзинг привел примеры золотого сечения из произведений искусства.
А предпочтительность пропорции золотого сечения для нашего глаза попытался доказать Густав Фехнер (Gustav Theodor Fechner) – немецкий психолог, основоположник психофизиологии и психофизики. Свои выводы, основанные на результатах формально-статистического тестирования, он описал в работе 1876 года, в которой задался целью оценить привлекательность для человека разных геометрических фигур. В экспериментах Фехнера люди чаще выбирали прямоугольники, построенные по пропорции золотого сечения.
Именно двух этих ученых стоит благодарить за распространенность гипотезы о поразительных эстетических свойствах золотой пропорции, которая по сей день очень популярна. Бытует даже мнение, что каждый уважающий себя творец прибегает в своей работе к золотому сечению, поскольку чем ближе к нему объект, тем приятнее он для нашего мозга, легче для восприятия и анализа. А в эпоху потребления этот факт особенно важен в брендировании. Возможно, поэтому золотые пропорции можно отследить в логотипах Apple и Twitter, Toyota, Pepsi и т. д. Их рекомендуют использовать в дизайне текста, выбирая размер шрифта и заголовка, а еще в веб-дизайне, применяя пропорцию к разметке страниц и макетам. Ведь даже если пользователь ничего не понимает ни в математике, ни в искусстве, он наверняка оценит гармонию интерфейса, потому что к своему возрасту уже успел «насмотреться» на идеальные классические пропорции. Именно так считают современные последователи Цейзинга и Фехнера. Однако существует и мнение о том, что эстетика золотого сечения сильно переоценена.
Один из тех, кто хочет развенчать «миф о золотом сечении», – британо-американский математик и писатель, стэнфордский профессор Кит Девлин (Keith Devlin). «Собственно говоря, невозможно подобрать примеры золотого сечения в реальном мире, потому что это иррациональное число», – считает он. По мнению Девлина, сама идея об эстетическом смысле золотой пропорции появилась из-за неправильного толкования труда Луки Пачоли. Математик обратил внимание на то, что в своей книге монах говорит об эргономической системе пропорционирования, основанной Марком Витрувием – римским механиком и архитектором, современником Юлия Цезаря. Витрувий предлагал использовать при строительстве зданий и создании машин числовые закономерности, наблюдаемые в строении Вселенной и человека. Именно такого «Витрувианского человека» изобразил позже Леонардо да Винчи. Идею же о золотом сечении Пачоли приписали ошибочно, а поскольку его книгу иллюстрировал сам да Винчи, золотые пропорции начали искать и в его творениях.
Кит Девлин Фото: Richard Ressman
Одним из таких искателей и стал Адольф Цейзинг, который назвал золотое сечение универсальным законом, описывающим природное совершенство. Однако, по мнению Девлина, эту формулу Цейзинг много куда «притянул за уши» – нашел закономерности там, где их нет, в том числе и в человеческом теле. «При замерах чего-то столь сложного, как человеческое тело, очень легко найти примеры разных пропорций, близких к 1,6», – считает профессор. Но гипотеза Цейзинга получилась такой красивой, что стала жить собственной жизнью и обрастать новыми доказательствами, попутно убеждая обывателей в том, что золотое сечение им очень нравится. Как утверждает Кит Девлин, это не так, и в обычной жизни золотая пропорция людям не так уж важна. Он выяснил это в ходе исследования: много лет Девлин, как и Фехнер, показывал студентам прямоугольники и спрашивал, какой им больше всего нравится. Казалось бы, испытуемые должны были тянуться к прекрасному, то есть к фигурам, близким к золотым пропорциям. Но нет – студенты выбирали прямоугольники произвольно.
Похожий эксперимент провели в Школе бизнеса имени Уолтера Хааса. Его участники чаще предпочитали фигуры с пропорциями 1,414 и 1,732 (а не «золотые» 1,618). В подтверждение своей позиции Девлин приводит высказывания современных дизайнеров, которые воспринимают золотое сечение как один из множества инструментов, но не как формулу красоты.
Девлин не был первым, кто усомнился в универсальности золотого сечения. В 1995 году психолог Кристофер Грин (Christopher D. Green) из Йоркского университета опубликовал работу, в которой проанализировал многолетние данные и сделал вывод, что предпочтение людьми золотого сечения – это, скорее, исключение из правила, а не наоборот. А команда ирландских нейробиологов под руководством Марка Эллиотта (Mark A. Elliott) в 2015 году опубликовала свое исследование, в котором установила, что на восприятие визуальных стимулов, в которых соблюдаются иррациональные пропорции (включая золотое сечение), человеческий мозг тратит больше времени и ресурсов, и такое восприятие сопровождается большим количеством ошибок – а это связано как раз с меньшим эстетическим удовольствием.
Более того, та самая «программная» работа Фехнера, в которой он якобы подтверждал гипотезу Цейзинга, с большой натяжкой выдерживает критику. Еще один немецкий исследователь – Эмиль Тимердинг (Heinrich Carl Franz Emil Timerding), профессор Высшей технической школы в Брауншвейге – еще в начале ХХ века написал книгу, посвященную золотому сечению и критике его значения в эстетике. Он обратил внимание на то, что участники исследования Фехнера колебались, выбирая прямоугольники, и предположил, что испытуемые останавливались на пропорциях золотого сечения «по соображениям рассудка». Да и сам Фехнер, анализируя форматы картин в мировых картинных галереях, выяснил, что наиболее распространенные их форматы, вопреки ожиданию, отличаются от золотой пропорции: популярны размеры 1,33–1,38 для горизонтальных картин и 1,248–1,258 – для вертикальных. Так что работа Фехнера, скорее, обнажает противоречия в идее Цейзинга, а не подтверждает ее.
Пока можно сказать, что научная аргументация сильнее у противников гипотезы об эстетике золотого сечения, а не у сторонников. Но если универсальность золотого сечения – миф, почему он нас так привлекает?
Как объясняет сам Кит Девлин, потребность искать смысл и видеть шаблоны – это наша особенность, запрограммированная генетически. И, если задуматься, это одна из первых культурных потребностей, с которых началась цивилизация. Увидеть закономерности в окружающем мире, описать их и объяснить – такая необходимость стала основой религий, календарей, медицины, творчества, абсолютно всех наук. А способность видеть и оценивать гармонию, симметрию, соответствие неким законам – это то, что позволяет сохранять и приумножать все полезное и здоровое, совершенствуя свой вид и осуществляя искусственный отбор.
«Большая часть людей не понимает математику и даже не может понять, как формула вроде золотого сечения применяется к сложной системе, так что и проверить себя они не могут. Люди думают, что повсюду видят золотое сечение, в природе и в любимых объектах, но они не могут это обосновать. Они – жертвы своего природного желания найти смысл в разных объектах Вселенной, но из-за недостаточной математической грамотности они не могут понять, что обнаруживаемые закономерности иллюзорны», – считает ученый.
Несмотря на то что золотая пропорция действительно присутствует во многих биологических объектах, научной базы пока недостаточно, чтобы распространять этот закон на все сферы жизни. Особенно – на искусство, которым в данном случае нужно считать и способы взаимодействия, и работу с информацией. Как высказался когда-то швейцарский типограф Эмиль Рудер, «системы пропорций, основанные на выкладках, искажают суть творчества… Любые, даже самые “золотые” пропорции могут быть ложны».
Стоит ли лишать себя удовольствия, превращая математическую игру в константу для всего? Коварство таких констант – наша обманчивая уверенность, что нечто прекрасное и великое легко создать, пользуясь всего лишь проверенным рабочим инструментом. К счастью, настоящее искусство всегда будет таинством, которое посредственности неподвластно. А красота – огнем, мерцающим в сосуде.
Наука
Юлия Александрова
Сентинельцы – самый загадочный и изолированный народ
Из того, что было: сельское хозяйство Израиля
Растормошить мир: чем знаменит кукольник из Томска
