текст
Последовательность Фибоначчи вокруг нас
Ноль, один, один, два, три, пять, восемь, тринадцать… Это не шифр из сериала «Остаться в живых», а числа Фибоначчи. Чаще всего последовательностью пользуются математики, но она встречается и в других сферах науки – ботанике, генетике и химии.
Иллюстрация: Vectorarte ru.freepik.com
Поскольку рациональные приближения к золотому сечению (где F – это числа из последовательности Фибоначчи), то ближайшими соседями для соцветия под номером n будут соцветия под номерами n ± F(j) для некоторого индекса j, который, в свою очередь, зависит от расстояния до центра (от r). Подсолнухи и схожие с ними цветы обычно имеют спирали соцветий, направленные как по часовой стрелке, так и против. При этом количество спиралей, направленных по и против часовой стрелки, часто равно двум соседним числам из той самой последовательности Фибоначчи. Определить их индексы (и, соответственно, сами числа) можно, исходя из расстояния от центра до самой удаленной от центра спирали.
В приведенном примере с цветком Cota tinctoria описан случай, когда всю структуру соцветий можно представить набором спиралей, и при этом количество спиралей, направленных в одну сторону, равно 21 (на рисунке отмечены синим), а количество спиралей, направленных в противоположную сторону, – 13 (на рисунке отмечены голубым). Как известно, 13 и 21 – это два соседних числа из последовательности Фибоначчи.
Рисунки соцветий – это только одно из проявлений такой красивой упорядоченности в ботанике. Числами Фибоначчи также может быть описано расположение листьев на стебле у некоторых растений. Речь идет о тех растениях, у которых листья на стебельке чередуются и образуют что-то вроде спирали. Угол поворота между любыми двумя соседними листьями в такой спирали будет один и тот же и может быть выражен в долях полного вращения вокруг стебля (то есть в долях от 360°). Для структуры, которая изображена на рисунке 2 слева, этот угол будет составлять 1/2 от полного вращения. Однако для большинства известных растений характерны структуры с меньшим углом поворота между соседними листьями (рисунок 2, справа). Так, например, для бука и орешника этот угол составляет 120°, то есть 1/3 от полного вращения. Для абрикоса и дуба этот угол близок к 144°, что составляет 2/5 от полного вращения. У таких растений, как тополь и груша, угол около 135°, и можно заметить, что это 3/8 от полного вращения. У ивы и миндаля это угловое расстояние между соседними листьями оказывается близко к 5/13 от полного вращения.
Анализ расположения листьев на стеблях у некоторых растений действительно иногда приводит к числам Фибоначчи. Для выявления тут закономерности достаточно всего лишь выразить угол не в привычных «технарям» градусах или радианах.
С числами Фибоначчи можно также связать закономерности в родословном дереве пчел. Как правило, если яйцеклетка откладывается неоплодотворенной самкой, она выводит на свет самца, а если яйцеклетка была оплодотворена самцом, то на свет появляется самка. Таким образом, у пчелы мужского пола всегда только один предок, а у пчелы женского пола всегда два. Если проследить родословную какой-либо пчелы мужского пола (1 пчела), у него есть 1 родитель (1 пчела), 2 бабушки и дедушки, 3 прадедушки и прабабушки, 5 прапрабабушек, 8 прапрапрабабушек и т. д. Полученная последовательность чисел не что иное, как последовательность Фибоначчи.
Ряд Фибоначчи – обычная последовательность чисел. Да, есть закономерность: каждое число равняется сумме двух предыдущих, но можно искусственно придумать бесконечное множество таких последовательностей. От того, что мы создадим красивую закономерность, она не приобретет физический смысл, не перестанет быть абстрактным математическим объектом. В общем случае, конечно, нет. Но в частном случае последовательности Фибоначчи с ее физическим смыслом все намного сложнее. Числа Фибоначчи встречаются в абсолютно разных плоскостях. Их не пытаются обнаружить искусственно, не подгоняют к ним значения. Они просто есть. Как будто кто-то написал программу мироздания и закодировал в ней один повторяющийся элемент – ноль, один, один, два, три, пять, восемь… Последовательность Фибоначчи встречается во многих биологических системах и процессах – в ветвлении деревьев, расположении листьев на стебле, плодоножках ананаса, соцветии артишока, в расположении сосновых шишек и даже в родословном дереве пчел.
Одним из первых на связь чисел Фибоначчи с закономерностями в природе обратил внимание Иоганн Кеплер. Главной сферой его научной деятельности была небесная механика: он открыл три закона движения планет вокруг Солнца. Однако увлеченность поисками космического порядка не помешала Кеплеру (а может быть, даже помогла) искать закономерности в форме и количестве лепестков у полевых ромашек. В результате этих поисков и был установлен сам факт, что многие виды растений могут быть описаны с помощью чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Так, например, Гельмут Фогель, соотечественник Кеплера, три столетия спустя предложил модель рисунка соцветий в подсолнухе. Она выражается следующими формулами:
где n – порядковый номер соцветия, а c – постоянный коэффициент масштабирования. С геометрической точки зрения это означает, что соцветия лежат на так называемой спирали Ферма. Угол расхождения φ составляет примерно 137,51° – это золотой угол, делящий круг в соотношении, равном золотому сечению. Золотое сечение является иррациональным числом, поэтому ни у одного соцветия нет «соседа» под точно таким же углом от центра, и за счет этого все соцветия упаковываются достаточно эффективно, на почти одинаковом расстоянии друг от друга, образуя равномерную структуру.Одним из первых на связь чисел Фибоначчи с закономерностями в природе обратил внимание Иоганн Кеплер. Главной сферой его научной деятельности была небесная механика: он открыл три закона движения планет вокруг Солнца. Однако увлеченность поисками космического порядка не помешала Кеплеру (а может быть, даже помогла) искать закономерности в форме и количестве лепестков у полевых ромашек. В результате этих поисков и был установлен сам факт, что многие виды растений могут быть описаны с помощью чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Так, например, Гельмут Фогель, соотечественник Кеплера, три столетия спустя предложил модель рисунка соцветий в подсолнухе. Она выражается следующими формулами:
Поскольку рациональные приближения к золотому сечению (где F – это числа из последовательности Фибоначчи), то ближайшими соседями для соцветия под номером n будут соцветия под номерами n ± F(j) для некоторого индекса j, который, в свою очередь, зависит от расстояния до центра (от r). Подсолнухи и схожие с ними цветы обычно имеют спирали соцветий, направленные как по часовой стрелке, так и против. При этом количество спиралей, направленных по и против часовой стрелки, часто равно двум соседним числам из той самой последовательности Фибоначчи. Определить их индексы (и, соответственно, сами числа) можно, исходя из расстояния от центра до самой удаленной от центра спирали.
В приведенном примере с цветком Cota tinctoria описан случай, когда всю структуру соцветий можно представить набором спиралей, и при этом количество спиралей, направленных в одну сторону, равно 21 (на рисунке отмечены синим), а количество спиралей, направленных в противоположную сторону, – 13 (на рисунке отмечены голубым). Как известно, 13 и 21 – это два соседних числа из последовательности Фибоначчи.
Рисунки соцветий – это только одно из проявлений такой красивой упорядоченности в ботанике. Числами Фибоначчи также может быть описано расположение листьев на стебле у некоторых растений. Речь идет о тех растениях, у которых листья на стебельке чередуются и образуют что-то вроде спирали. Угол поворота между любыми двумя соседними листьями в такой спирали будет один и тот же и может быть выражен в долях полного вращения вокруг стебля (то есть в долях от 360°). Для структуры, которая изображена на рисунке 2 слева, этот угол будет составлять 1/2 от полного вращения. Однако для большинства известных растений характерны структуры с меньшим углом поворота между соседними листьями (рисунок 2, справа). Так, например, для бука и орешника этот угол составляет 120°, то есть 1/3 от полного вращения. Для абрикоса и дуба этот угол близок к 144°, что составляет 2/5 от полного вращения. У таких растений, как тополь и груша, угол около 135°, и можно заметить, что это 3/8 от полного вращения. У ивы и миндаля это угловое расстояние между соседними листьями оказывается близко к 5/13 от полного вращения.
Анализ расположения листьев на стеблях у некоторых растений действительно иногда приводит к числам Фибоначчи. Для выявления тут закономерности достаточно всего лишь выразить угол не в привычных «технарям» градусах или радианах.
С числами Фибоначчи можно также связать закономерности в родословном дереве пчел. Как правило, если яйцеклетка откладывается неоплодотворенной самкой, она выводит на свет самца, а если яйцеклетка была оплодотворена самцом, то на свет появляется самка. Таким образом, у пчелы мужского пола всегда только один предок, а у пчелы женского пола всегда два. Если проследить родословную какой-либо пчелы мужского пола (1 пчела), у него есть 1 родитель (1 пчела), 2 бабушки и дедушки, 3 прадедушки и прабабушки, 5 прапрабабушек, 8 прапрапрабабушек и т. д. Полученная последовательность чисел не что иное, как последовательность Фибоначчи.
Число предков на каждом уровне, F(j), – это сумма числа предков женского пола, которое составляет F(j - 1) и равно общему числу предков на предыдущем уровне, и числа предков мужского пола, которое составляет F(j - 2). Конечно, при любом отклонении от принятых исходных допущений вся последовательность рушится. Но в среднем эти отклонения невелики, и поэтому родословное дерево пчел все же можно приближенно описать последовательностью Фибоначчи и не ошибиться.
В генетических закономерностях человека тоже встречается последовательность Фибоначчи: ей следует число возможных предков на линии наследования Х-хромосомы. Так, у мужчины есть Х-хромосома, которую он получил от матери, и Y-хромосома, которую он получил от отца. При этом мужчина сам является «источником» своей собственной одной Х-хромосомы (F1 = 1), а в поколении его родителей его Х-хромосома произошла от одного родителя (F2 = 1). Мать мужчины получила одну Х-хромосому от своей матери (для него это бабушка по материнской линии) и одну от своего отца (это дедушка по материнской линии), поэтому свой вклад в Х-хромосому мужчины на уровне бабушек и дедушек внесли уже двое предков (F3 = 2). Дед по материнской линии получил свою Х-хромосому от своей матери, а бабушка по материнской линии получила свои две Х-хромосомы от обоих родителей, поэтому на уровне прабабушек и прадедов вклад внесли три человека (F4 = 3). Для предков следующего уровня такими же рассуждениями можно доказать, что вклад в Х-хромосому мужчины внесли уже 5 человек (F5 = 5), и т. д. Как и в случае с пчелами, все это верно при определенном допущении.
Траектория светового луча, в которой полосы – это две пластины, а числа (а1, а3) – количество возможных траекторий луча. То самое аn, о котором говорится в тексте www.ftj.agh.edu.pl
Применяют числа Фибоначчи и в физике, а именно – в оптике. Когда луч света падает под некоторым углом на две уложенные друг на друга прозрачные пластины из разных материалов, он может иметь несколько траекторий, поскольку может отражаться от трех поверхностей: верхней, средней и границы между пластинами. При любом количестве уложенных друг на друга пластин число возможных траекторий светового луча в такой системе будет некоторым числом из последовательности Фибоначчи. С помощью числа Фибоначчи мили можно перевести в километры.
Поскольку коэффициент пересчета из миль в километры 1,6093 близок к золотому сечению, можно сделать следующее:
В генетических закономерностях человека тоже встречается последовательность Фибоначчи: ей следует число возможных предков на линии наследования Х-хромосомы. Так, у мужчины есть Х-хромосома, которую он получил от матери, и Y-хромосома, которую он получил от отца. При этом мужчина сам является «источником» своей собственной одной Х-хромосомы (F1 = 1), а в поколении его родителей его Х-хромосома произошла от одного родителя (F2 = 1). Мать мужчины получила одну Х-хромосому от своей матери (для него это бабушка по материнской линии) и одну от своего отца (это дедушка по материнской линии), поэтому свой вклад в Х-хромосому мужчины на уровне бабушек и дедушек внесли уже двое предков (F3 = 2). Дед по материнской линии получил свою Х-хромосому от своей матери, а бабушка по материнской линии получила свои две Х-хромосомы от обоих родителей, поэтому на уровне прабабушек и прадедов вклад внесли три человека (F4 = 3). Для предков следующего уровня такими же рассуждениями можно доказать, что вклад в Х-хромосому мужчины внесли уже 5 человек (F5 = 5), и т. д. Как и в случае с пчелами, все это верно при определенном допущении.
Траектория светового луча, в которой полосы – это две пластины, а числа (а1, а3) – количество возможных траекторий луча. То самое аn, о котором говорится в тексте www.ftj.agh.edu.plПрименяют числа Фибоначчи и в физике, а именно – в оптике. Когда луч света падает под некоторым углом на две уложенные друг на друга прозрачные пластины из разных материалов, он может иметь несколько траекторий, поскольку может отражаться от трех поверхностей: верхней, средней и границы между пластинами. При любом количестве уложенных друг на друга пластин число возможных траекторий светового луча в такой системе будет некоторым числом из последовательности Фибоначчи. С помощью числа Фибоначчи мили можно перевести в километры.
1) разложить расстояние в милях (округленное до целого числа) на сумму чисел Фибоначчи;
2) заменить каждое число Фибоначчи в разложении на следующий элемент ряда Фибоначчи – например, 5 на 8, 13 на 21 и так далее.
Дорожный знак недалеко от границы между США и Канадой призывает водителей «думать метрически». Знак напоминает американским водителям, что в Канаде используют метрическую систему, и подсказывает, как перевести одно в другое: 1 миля = 1,6 км Фото: Owen Franken/Corbis, www.gettyimages.com
2) заменить каждое число Фибоначчи в разложении на следующий элемент ряда Фибоначчи – например, 5 на 8, 13 на 21 и так далее.
Дорожный знак недалеко от границы между США и Канадой призывает водителей «думать метрически». Знак напоминает американским водителям, что в Канаде используют метрическую систему, и подсказывает, как перевести одно в другое: 1 миля = 1,6 км Фото: Owen Franken/Corbis, www.gettyimages.com
Если это проделать, то расстояние в милях «легким движением руки» превращается в число, близкое к тому же самому расстоянию, выраженному в километрах. Даже не имея четкого представления о том, откуда взялись метры и мили как единицы измерения, уже можно сказать, что связь между ними не лишена «космического порядка», который Кеплер, Фибоначчи и многие другие искали и продолжают искать как в небе, так и на земле. Если мы приглядимся к тому, что нас окружает, то обнаружим ряд Фибоначчи буквально во всем – даже в нашей собственной ДНК.
Наука
Андрей Махнов
Машины и Механизмы
Всего 0 комментариев
Джон фон Нейман, архитектор компьютерной Вселенной
Субкультура: на пути в мейнстрим
Что такое турбулентность
Аккумуляторы вокруг нас 
