Головоломки

Его суть такова: существует некий отель Гильберта, в котором расположено бесконечное количество номеров. Все эти номера заняты постояльцами, то есть одна бесконечность как бы накладывается на другую. В отель приходит новый посетитель и спрашивает, могут ли дать ему номер. И хоть кажется, что это невозможно, на деле администратор с легкостью может его заселить. Он переселяет всех текущих постояльцев в номер с числом, следующим по счету после того, в котором сейчас находится гость. То есть постояльца из номера 1 он переселит во второй, из номера 2 – в третий, из 3 – в 4, и так далее бесконечное количество раз. Таким образом, первый номер освобождается, и новый гость может заехать в него. Отель – это счетная бесконечность. К ней всегда можно прибавить единицу, но только с самого начала.

Но что, если к отелю придет не один новый гость, а бесконечное количество, причем одновременно. Можно ли будет их всех заселить в комнаты? Определенно – да. Но тут понадобится другой трюк с переселением. Каждый постоялец, находящийся в отеле, должен умножить номер своей комнаты на 2 и переехать в комнату с числом, которое получилось в ответе. То есть гость из номера 1 переезжает во 2, из 2 – в 4, из 3 – в 6, из 4 – в 8, из 5 – в 10 и так далее. Таким образом, освобождаются все нечетные номера, куда можно заселить новую бесконечность ожидающих на ресепшене людей. Задача решена.

И только администратор присел отдохнуть, как к отелю подъезжает бесконечное число туристических автобусов, и в каждом из них бесконечное число людей. Их удастся разместить? Казалось бы, что нужно действовать по аналогии с предыдущим случаем, но, к сожалению, не совсем. Номера-то мы освободили, но людей из первого автобуса администратор будет расселять бесконечно долго и никогда не сможет дойти до автобусов 2, 3 и так далее (что уж говорить о бесконечности). Проблема этого способа – в его линейности. По той же причине не подойдет и способ заселять по одному человеку из каждого автобуса подряд, так до вторых людей очередь никогда не дойдет. Но решение есть. Надо заселять всех новых постояльцев зигзагом. Чтобы понять, представьте таблицу, где каждая строка – это новый автобус, а ячейки – пассажиры.

Администратору нужно подойти к первому автобусу и заселить первого человека (А) в свободный номер. Второй свободный номер необходимо отдать второму пассажиру (Б) из этого же автобуса. Затем подойти к автобусу номер 2 и заселить в номер первого человека (А) оттуда. Четвертым человеком, которого нужно разместить в отеле, будет первый (А) из третьего автобуса. Если следить по таблице, то видно, как мы спустились по диагонали, а теперь по обратной траектории начинаем подъем вверх. Таким образом, пятый человек для размещения – второй пассажир (Б) из второго автобуса, а шестой человек, получивший свой номер, – третий пассажир (В) из автобуса номер 1. Следуя этой схеме, у нас получится разместить все бесконечные количества пассажиров из бесконечного количества автобусов. Вот такой вот Гранд-отель Давида Гильберта.

Невероятно, но факт

Есть еще одна интересная мыслительная задача, только в ней главные герои уже не бесконечные постояльцы отеля и его номера, а бесконечные обезьяны и печатные машинки. И если с самими бесконечностями мы, более или менее, разобрались, то тут речь пойдет главным образом о вероятности. Теорема о бесконечных обезьянах была описана Эмилем Борелем в 1914 году в труде «Статистическая механика и необратимость» и также в его книге «Случай».

Суть такова, что мы берем бесконечное количество обезьян, даем каждой по печатной машинке и заставляем (нежно просим) их печатать бесконечное количество времени. Конечно же, обезьяны будут рандомно тыкать по клавишам, получая в основном какую-то нелепицу на тарабарском языке. Но, так как весь этот процесс бесконечен, значит, когда-нибудь они напечатают все произведения Шекспира, буква в букву. Правда, по чистой случайности. Теоретически – все верно, не правда ли? Но насколько эта вероятность возможна математически? Ученые из Австралии это рассчитали.

Прежде чем пытаться вникнуть в суть расчетов австралийских математиков, углубимся в понимание вероятности. Если наступление одной вероятности не зависит от результатов другой, то такие вероятности называются статистически независимыми, и наступление их обоих рассчитывается произведением этих двух вероятностей. Представим, что вы пришли в казино (гипотетически, конечно, ведь у нас это незаконно) и играете в две игры. Первая простая – бросить кость так, чтобы выпало определенное число. Ваш шанс выигрыша (он же вероятность) – 1 к 6, так как у кубика 6 сторон. Далее вы приступаете к игре в рулетку, где шанс уже меньше – 1 к 38. Исходя из этого вероятность победы в обоих играх сразу составит 1/6 · 1/38 = 1/228.

Давайте попробуем приблизиться к австралийским ученым и усложним себе задачу. Представим вероятность того, что обезьяна напечатала слово «банан» на печатной машинке с 50 клавишами. Шанс того, что первой буквой при случайном выборе будет Б: 1 к 50. Такая же вероятность и с попаданием в последующие 4 буквы, но, чтобы рассчитать возможность написать все слово случайным образом целиком – надо перемножить все эти вероятности, что равняется (1/50)⁵ = 0,0000000032. В целом – это уже практически невозможно. А чем больше символов будет в тексте, который нужно напечатать, тем больше вероятность будет стремиться к нулю.

Вернемся к исследованию. Стивен Вудкок, один из его авторов, уточняет, что картина для расчетов была более приближена к реальности, чем в изначальной трактовке теоремы о бесконечных обезьянах. Так их число превратилось в 200 000 (примерное количество живых шимпанзе в нашем мире), клавиатура взята упрощенная, с английской раскладкой из 26 букв и 4 наиболее используемых знаков препинания, а обезьяны будут печатать до конца жизни нашей Вселенной, что произойдет приблизительно через 1 гугол лет (единица со ста нулями). Ах, да, и каждая обезьяна будет нажимать одну клавишу раз в секунду для упрощения расчетов. При таких вводных данных ученые рассчитали, что обезьянам потребуется целых 7 жизней Вселенной, чтобы в результате их работы на свет появились все произведения Шекспира (а это около 884 647 слов)!

Флуктуировали, флуктуировали, да дофлуктуировались

Давайте проведем аналогию от обезьян, бездумно жмущих на клавиши на своих бесконечных печатных машинках, сразу к масштабам Вселенной. Какова вероятность, что все карты сложились так, что в мире появилась разумная жизнь? Доподлинно рассчитать это, конечно, не выйдет, но мы живем в мире, который явно не должен существовать…

Нам известно, что Вселенная постоянно расширяется, а значит и становится менее упорядоченной, то есть повышается энтропия. Однако из-за случайных отклонений (флуктуаций) какие-то области Вселенной могут становиться более упорядоченными. Так появились произведения Шекспира в мыслительном эксперименте выше, и так же появилась и теория Людвига Больцмана под названием «Больцмановский мозг».

Мозг Больцмана – гипотетический объект, возникший в системе путем множества флуктуаций и способный к самосознанию. То есть условные «мы». Но все же физик создавал свою теорию еще в XIX веке, даже до концепции Большого Взрыва тогда оставалось около 55 лет, поэтому огрехов здесь много.

Если верить Больцману, то почему «мы» – не одиноко плавающий в пучине Вселенной среди бесконечной энтропии мозг? Словно одинокий «Гамлет» в мире напечатанной обезьянами тарабарщины. Вокруг нас огромная толща упорядоченных объектов, которые в совокупности создать, кажется, сложнее, да и плюс к тому миллионы других видов живых существ. Может, мы все же не случайная флуктуация?

Не совсем. Флуктуации, способные запустить некий «естественный отбор», более вероятны, чем те, что создадут Больцмановский мозг, а дальше все как по накатанной. Объекты более устойчивые оставались, а менее устойчивые уничтожались. У оставшихся появлялась возможность саморепликации с некоторой вероятностью мутации, где вновь оставались сильнейшие. Поэтому выходит, что наш мир, наполненный «мозгами», создать намного проще, чем одинокий космический «мозг».

Упорядоченность обстановки, в которой мы живем, объясняет антропный принцип. Он гласит, что мир вокруг нас кажется нам столь тонко настроенным (например, универсальные физические величины, вроде гравитации) лишь потому, что мы настолько сложно устроены, что способны произвести данное наблюдение. Иными словами, если бы хоть малейшая деталь в мире была бы иной, то мы бы не существовали вовсе, и наблюдать тоже было бы некому. Сначала рождается упорядоченное пространство, а затем уже в нем появляется разумная жизнь.

После дождичка в четверг

После сложных научных расчетов и рассуждений о реалиях нашего мира хочется закончить небольшой сатирой. Вот мы ведь считаем, что Вселенная была создана 13,8 миллиона лет назад в результате Большого Взрыва. Земля – около 4,5 миллиона лет назад, человек разумный – 300 000 лет назад, летоисчисление началось 2025 лет назад, а N лет назад родились вы. И, даже если о создании мира еще можно поспорить, то вряд ли вы бы стали спорить о собственной дате рождения. А хотя… Вдруг это эффект Нельсона Манделы? Коллективная ложная память? И, даже если вы скажете, что у вас есть неопровержимые доказательства вроде детских фото, бирки из роддома, календаря и науки антропологии, то почему вы все равно себе доверяете? Вдруг мир был создан в прошлый четверг?

Фото: Road Ahea, unsplash.com

Теория под названием «прошлый четвергизм» гласит, что мир вполне мог быть создан в прошлый четверг. А все, что доказывает его более раннее существование, – намеренно создано именно таким, чтобы мы так думали. И тоже в прошлый четверг. Все окаменелости древних существ, звезды на небе, книги по истории и ваши детские фото. Почему выбран именно четверг, не ясно, но отталкивается данная теория от гипотезы Омфалоса.

Абсурд? Любой нормальный человек, естественно, скажет, что да, но парадокс в том, что теория о четвергизме самореферентна. Ее подлинность нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Тут бессильна даже математика.