Парадокс Бесконечных номеров

Как вы себе представляете бесконечность? Если, конечно, хоть раз пытались это сделать. В такие моменты мне кажется, что моя голова не выдержит и раздуется, как воздушный шар. А потом с ней произойдет та же история, что происходит с любым шариком, встретившим на своем пути острую иглу. Такой острой иглой стала для меня бесконечность, которую я иногда хочу представить…

Я нашла любопытный ролик, который, как мне показалось, мог мне помочь в этом деле.

Бесконечный отель Гильберта.

Бесконечный отель — мысленный эксперимент, придуманный немецким математиком Дэвидом Гильбертом.

Некоторые зрители отметили неточности в ролике, например, как может заполниться бесконечная гостиница?  Она же бесконечная….

А некоторые умы копнули глубже и разделились на два лагеря: на тех, кто за Лобачевского, и на тех, кто за Гильберта. Серьезные дебаты пошли, а я до сих пор не знаю к кому примкнуть.

В общем, товарищи, запуталась я в итоге окончательно. Не написать ли нам про парадоксы бесконечности в одном из номеров «ММ»???

Приведу один из занимательных комментариев к ролику. «У Гильберта бесконечность “количества” комнат актуальна, т.е. задана как некоторая целостность под названием “гостиница”. Бесконечность же “количества” посетителей потенциальна, т.е. задана как некоторая часть множества людей под названием “посетители”. Известно, что часть имеет свойство увеличиваться, а целое – нет. Гильберт проводит все действия с этими бесконечностями необоснованно – ни философски, ни математически. Во-первых. Он просто ХОЧЕТ считать любые бесконечности количествами, причем, счётными: множество комнат как завершённое целое число, называя его “гостиницей”, и множество людей как переменное (увеличивающееся) число, называя его “посетителями”.

Согласно Н.И. Лобачевскому любое ХОЧУ должно быть объективно обусловлено. Согласно А. Пуанкаре, достаточно вольного согласия, т.н. конвенции. По Н.И. Лобачевскому Д. Гильберт не прав. С т.з. А. Пуанкаре можно допустить воспринимать бесконечность как некоторое количество. Но эта вольность ведёт Д. Гильберта к противоречию уже на втором его шаге. Это когда при сопоставлении (соотвествовании) “гостиницы” и “посетителей”, он утверждает, что “каждая комната занята”. Тем самым он приравнивает целое к части. Абсурд.

Н.И. Лобачевский

Д. Гильберт

Но именно этот абсурд и принят сегодня за основу определения бесконечности в математике, а значит и всего её здания. И только теперь, век спустя после его декларации математический мир признал своё грехопадение. В математике наступил кризис. К признанию вынудил кризис в квантовой механике и в Общей Теории Относительности. В физике образовалась “чёрная дыра”.

Но нельзя воспринимать кризис как трагедию. Это симптом развития, а не подтверждения метафизики. Именно с этой т.зр. надо понимать “гостиничный” анекдот Д. Гильберта. Он лишний раз указал нам на противоречивость понятия бесконечности в математике. На это же указывали в своё время математики и философы Древней Эллады, особенно Аристотель. После них Математика из науки превратилась в Прагматический каноник, т.е. стала служанкой материальных интересов. Просвет Н.И. Лобачевского вселяет в нас надежду Д. Гильберта: “мы должны знать, мы будем знать!”.