Самые красивые числа

Самое большое простое число

Самого большого простого числа не существует. Достаточно интригующе? Представьте, что вы любите мороженое. Родители приносят вам советский пломбир и говорят: «Это самое вкусное мороженое в мире». Вы становитесь взрослее и пробуете новые вкусы, и тот пломбир больше не кажется вам самым лучшим, находятся новые пристрастия – клубничное, шоколадное, с карамельной капелькой в нижней части рожка… В поиске идеального мороженого самое главное – не прекращать искать. Ряд больших простых чисел, судя по тому, что науке известно сейчас, можно продолжать бесконечно, а значит, мир будет бесконечно искать самое большое простое число.

Вообще, какое число называют простым? Целое положительное, имеющее только два натуральных делителя – единицу и само себя. То есть число 6, например, которое делится на 1, 2, 3 и 6, простым числом не является, оно относится к разряду составных. Всем нужным характеристикам соответствуют цифры 5 или 3. Делители пятерки – только она сама и единица. Простота числа как раз и определяется перебором делителей. С двузначными это довольно легко, а вот с трехзначными уже начинаются проблемы. Самое большое простое число, известное миру сейчас, длиннее девяти романов «Война и мир». Вручную к нему делитель точно не подобрать, но зато с этим справятся компьютеры, которые могут провести сложнейшие вычисления за нас. Последнее известное нам самое большое простое число обнаружил 7 декабря 2018 года компьютер Патрика Лароша (Patrick Larochelle). Число, которому дали «имя» M82589933, содержит 24 862 048 цифр в составе, и это самое большое простое число, пока не найдут побольше. Но поисковые отряды явно не собираются останавливаться!

Простые числа используются в математике, в информационных технологиях и в криптографии. Криптографическая система с открытым ключом основана на использовании больших простых чисел. Представьте, что два шпиона не договариваются о шифре и дешифровщике, чтобы не поставить под угрозу операцию. Они поступают умнее. Тот, кто отправляет шифр, выбирает два числа, рассчитывает их произведение и сообщает его напрямую. Второй шпион шифрует свою информацию при помощи произведения и отправляет ее напарнику. Тот, кто их переписку перехватит, не сможет определить начальные числа, они известны только первому шпиону. Компьютер, для которого любезно напишут алгоритм, с задачей может справиться, но что если мы сделаем цифры настолько масштабными, что само их написание у компьютера займет много дней? Разумеется, данные шпионов будут вне опасности, а для дешифровки задействуют суперкомпьютер. Грубо говоря, единственное, что стоит между хакером и номером вашей кредитки, – это сложность числа.

Поиском подобных чисел занимается программа Great Internet Mersenne Prime Search. Это крупный вычислительный проект, в котором программное обеспечение запускают добровольцы. Самый подходящий аналог в данном случае – проект SETI, занимающийся поисками признаков внеземной жизни. Найти самое большое простое число – примерно то же самое, что найти инопланетянина. Только в GIMPS открытия случаются все же чаще, чем контакты с пришельцами. За все время своего существования GIMPS обнаружил 15 самых больших простых чисел. Но проект ищет не только большие простые числа. GIMPS ищет числа Мерсенна.

Числа Мерсенна

Математики буквально охотятся за простыми числами Мерсенна. Эта погоня не слишком отличается от поисков самого большого простого числа, но в случае с числами Мерсенна она уточнена формулой M_n = 2ⁿ – 1, где n – другое простое число. Подставим конкретные числа и получим М₂ = 2² – 1 = 3. Эта формула – лакмусовая бумажка для простых и составных чисел. Если n – составное, то и M будет составным. И M будет простым, только если n – простое. Самое большое простое число M82589933 вычисляется путем умножения 82 589 933 двоек, а затем вычитания одного. Это 51-е известное число Мерсенна.

Простые числа Мерсенна назвали в честь французского монаха Марена Мерсенна, который изучал их в XVII веке и посвятил жизнь поиску уникальных и интересных чисел. Такие забавы всегда захватывали математиков и захватывают до сих пор. В 1648 году Мерсенн выпустил трактат Cogitata Physica-Mathematica, в котором с помощью своей формулы М_р = 2^p – 1 вывел, что двойка в степенях 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 даст в конце простое число, а все остальные будут составными. В XVII веке никто не потребовал от него весомых доказательств, и теорема быстро стала популярной. Оказалось, что требованиям простоты в уравнении Мерсенна отвечают далеко не все цифры. Математики начали искать подходящие.

Марен Мерсенн

Great Internet Mersenne Prime Search, о котором сказано выше, был создан в январе 1996 года математиком Джорджем Вольтманом (George Woltman) для открытия новых простых чисел Мерсенна. Большинство членов GIMPS присоединились к поиску не ради развития криптографии или математики, а чтобы почувствовать сопричастность к рекордам. Программист Патрик Ларош, обнаруживший самое большое на данный момент простое число, использовал программное обеспечение GIMPS, чтобы бесплатно протестировать мощность компьютеров, сборкой которых он увлекается. Через четыре месяца и всего с четвертой попытки он обнаружил самое большое простое число. Для сравнения, некоторые ищут уже 20 лет и предприняли тысячи попыток. Доказательство простоты числа Лароша заняло 12 дней безостановочных вычислений на машине с процессором Intel i5-4590T. Чтобы доказать отсутствие ошибок в основном процессе обнаружения, новое простое число было независимо проверено с использованием трех разных программ на трех разных аппаратных конфигурациях. Возможно, пока вы читаете эту статью, компьютер в другой части света находит новое число Мерсенна, а может – и самое большое простое число тоже.

Число Шелдона Купера

В 73-й серии ситкома «Теория Большого взрыва» физик-теоретик Шелдон Купер рассказывает друзьям о необычных свойствах числа 73. Во-первых, 73 – 21-е простое число. Его зеркальное отражение 37 является 12-м простым числом, а его отражение 21 – это результат умножения 7 и 3. Во-вторых, в двоичной системе 73 – палиндром 1001001, то есть справа налево читается одинаково.

Шелдон и самое замечательное число 73. The Big Bang Theory / CBS

Убежденность Шелдона в уникальных свойствах числа 73 оставалась просто выдумкой создателей сериала, пока математики Крис Спайсер (Chris Spicer) из Морнингсайд колледжа и Карл Померанс (Carl Pomerance) из Университета Джорджии не решили проверить его характеристики. Они доказали, что 73 – единственное число, обладающее свойствами зеркальности (mirror) и произведения (product). Простое число они обозначили как p(n), а его зеркало – как m(x). Эти обозначения нужны не для того, чтобы всех запутать, а чтобы выводить формулы и подставлять в них числа, потому что Спайсер и Померанс воспользовались методом от противного. Математики не могли навскидку прикинуть контрпримеры: если аналоги числа Шелдона и существуют, лежат они далеко за пределами вычислений, которые можно сделать вручную. В первую очередь ученые доказали, что число Шелдона не превосходит 10⁴⁵, а вслед за этим утверждением вывели еще парочку ограничений. Например, пришли к тому, что простое число n будет 7-гладким числом, то есть его простые делители не больше 7; первая цифра числа p(m(n)) совпадут с числом цифр p(n); n не будет делиться на 625; если p(n) будет больше 10¹⁹, то n не удастся разделить на 125; и, наконец, что n не делится на 100. Десятичная запись числа p(n), как выяснили исследователи, не будет содержать нуля, а единица может стоять только в самом его начале; первая цифра p(m(n)) .

Ученые проверили все эти свойства для возможных кандидатов в диапазоне между 10¹⁹ и 10⁴⁵. Среди простых чисел они обнаружили примерно 1865251, имеющее 7-гладкий номер. Исключив все, делителем к которым может быть 100 или 125, Спайсер и Померанс оставили только 213449 вариантов. Из них начинались на 1, 3, 7 и 9 лишь 112344 кандидата. Всего лишь сто тысяч числовых значений! Делов-то – еще на пару проверок. После всех фильтраций у математиков осталась фантастическая пятерка претендентов – 97496326163, 97841660857, 99024780191, 316109730941 и 785009387557. Первому числу в десятичной системе не хватало единицы на начальной позиции, а все остальные содержали ноль.

Профессор математики Карл Померанс объясняет, почему число 73 – самое уникальное среди простых чисел Фото: Eli Burakian www.phys.org

Доказательством от противного – как в школе, но только с формулами, явно превосходящими по сложности школьный уровень, – Спайсер и Померанс вычислили, что 78 – это единственное число со свойствами, обозначенными Шелдоном Купером. Они назвали его «числом Шелдона Купера» и успокоились. Практического значения эта находка не имеет. Но, вопреки распространенному мнению о рационализме ученых математического профиля, очень многие вещи они делают просто потому, что это красиво. Число Шелдона Купера – красивое.

Число Пи

Понять, что такое число Пи, довольно легко – примерно как посчитать до одного, двух, 3,1415926535… Математик Уильям Шааф (William L. Schaaf) в книге «Природа и история числа Пи» говорит, что ни один символ в математике не вызывал столько загадок, романтизма, заблуждений и интереса, как число Пи. π – это 16-я буква греческого алфавита, и она используется для представления наиболее широко известной математической константы. По определению число Пи – это отношение длины окружности к ее диаметру. Иными словами, если разделить окружность (c) на диаметр (d), то мы получим заветное Пи. Формула такая: π = c/d. Казалось бы, ничего сложного или романтичного. Но одна загадка все же найдется. Число Пи – это математическая постоянная. Независимо от того, насколько большой или маленький круг мы рассматриваем, Пи всегда будет одинаковым. Можем взять планету, а можем кружку, из которой вы пьете чай на работе. Кое-что у них будет общим, и это – Пи.

Пи – иррациональное число, а это значит, что для него не подойдет простая дробь. Математики называют Пи «бесконечным десятичным числом» – после запятой (или десятичной точки) цифры продолжаются вечно. Одним из первых расчет Пи выполнил Архимед Сиракузский. Математик аппроксимировал площадь круга на основе площади правильного многоугольника, вписанного в круг, и площади многоугольника, внутри которого была помещена окружность. У Архимеда получилась верхняя и нижняя граница для площади круга, и он нашел приблизительное значение для числа Пи – между 3 1/7 и 3 10/71. Хотя точного значения числа Пи нет до сих пор, профессиональные математики и любители пытаются вычислить его до максимально возможного числа. Рекорд 2019 года принадлежит сотруднице компании Google, вычислившей с помощью написанного алгоритма число с точностью до 31,4 трлн знаков после запятой.

Международный день числа Пи отмечается 14 марта в 1:59:26. Эту дату предложил физик Ларри Шоу (Larry Shaw). Он заметил, что именно 14 марта – если записывать в американской системе месяц/день – в 1:59:26 цифровой ряд совпадает с числом π = 3,1415926… Европейцы, пользующиеся 12-часовой системой, отмечают праздник днем, в России настаивают на его «ночном» формате. В этот день любители числа Пи со всего мира традиционно соревнуются в его повторении. Запомнить такого гиганта сложно. Мировой рекорд Гиннесса по чтению большинства цифр числа Пи принадлежит Раджвиру Минау из Индии. В 2015 году он с завязанными глазами прочел число Пи с точностью до 70 тыс. знаков после запятой! Попробуйте запомнить тоже. Первые сто цифр числа Пи: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067… На сайте piday.org число Пи указано в первом миллионе цифр.

Физик Ларри Шоу. www.pi314.net

Число Эйлера

У числа Эйлера тоже есть своя буква, как и у Пи, их вообще довольно часто сравнивают. e, число Эйлера – тоже константа, и равна она 2,7182818284590… е – основание натурального логарифма, уже одно это подсказывает, что, в отличие от Пи, число Эйлера используют не в геометрии, а в алгебре. Самым известным примером того, как работает число Эйлера, обычно служит мыслительный эксперимент швейцарского математика Якоба Бернулли о процентном доходе. Он обнаружил, что если процентный доход по вложенному в банк капиталу (1 единица) начисляется один раз в конце года, то итоговая сумма будет равна двум единицам. Но если те же проценты будут начислять два раза в год, то получать по итогу вы будете 2,25 рубля. А если каждый месяц, то ≈2,4414. Бернулли решил посчитать, что будет, если начисление процентов бесконечно увеличивать, и обнаружил, что у этого числа есть предел. И этот предел как раз равен ≈2,7182818. Но этот иррациональный показатель назвали не числом Бернулли, а числом Эйлера. Дело в том, что именно Леонард Эйлер ввел величину в обиход и рассчитал целых 23 знака после запятой. По тем временам нешуточное достижение, он-то делал все вручную, безо всяких суперкомпьютеров. е используют для того, чтобы считать интегралы и исследовать функции.

В честь самого большого простого числа называется российская группа СБПЧ. «Теория Большого взрыва» помогла доказать уникальность 73, а числа Мерсенна ищут энтузиасты по всему миру. Иногда не обязательно искать числа силы или высчитывать черты характера по дате рождения. Тайны и загадки могут скрываться в реальной математике, нужно лишь почаще к ней обращаться.